Persze felmerül a kérdés: mi
van ha olyan nagy számokkal akarunk dolgozni, hogy már nem elég a
rendelkezésünkre álló kavicsmennyiség. Ekkor is lehet persze még használni a
kavicsokat, mint ahogyan használták is őket több helyen is.
Tulajdonképpen az ember azóta tud számolni, hogy ember lett. Igaz, a kezdet kezdetén, az ősember még nem úgy számolt, mint ahogyan ma számolunk. De összeadni, és kivonni bizonyos határok között már neki is tudnia kellett.
Már az ősembernek tudnia kellett, hogy mennyi állatot kell a vadászaton elejtenie ahhoz, hogy a családja elég élelemhez jusson. Így aztán nyilvánvalóan képes is volt összeszámolni a családja tagjait éppúgy, mint az elejtett állatokat.
Vajon mit használhatott ehhez akkoriban az ősember? Először is ott volt már akkor is a kezén az a néhány ujj. Aztán ha az ujjak már nem voltak elegendőek, lehetett rovátkákat rajzolni a földre, a fába vagy a falra. Egyes elképzelések szerint a sziklarajzoknak is lehetett az a szerepe, hogy leltárba vegyék az elejtett állatokat, a megtermelt növényeket, illetve a törzs létszámát.
Ezeken kívül ott voltak még a kövek, kavicsok is, amelyekkel szintén nagyon egyszerűen lehet összeadni, vagy akár kivonni is. Régészeti leletek bizonyítják, hogy egyes ókori népek kis kövecskéket helyeztek agyagedényekbe, hogy így jegyezzék fel valaminek a mennyiségét.
De hogyan lehet a kövekkel számolni? Mi sem egyszerűbb ennél: Számolj le egy kupacba annyi kavicsot, amennyi az összeadandó számok egyike, majd ugyanígy alakítsd ki a másik számnak megfelelő kupacot is. Ha a két kupacot egybe rakod, a kapott kupacban éppen annyi kavics van, amennyi az összeg.
A kivonás is hasonlóan egyszerű: Számold le egy kupacba a kisebbítendőnek megfelelő számú kavicsot. Ezután ebből a kupacból véve a kavicsokat alakítsd ki a kivonandónak megfelelő kupacot. Ami az eredeti kupacból megmaradt, az az eredmény.
Persze felmerül a kérdés: mi
van ha olyan nagy számokkal akarunk dolgozni, hogy már nem elég a
rendelkezésünkre álló kavicsmennyiség. Ekkor is lehet persze még használni a
kavicsokat, mint ahogyan használták is őket több helyen is.
Kis agyag táblácskákba vonalakat véstek, és ebbe pakolták a kavicsokat. Ezután már a kavics pontos értéke attól is függött, hogy melyik barázdába helyezték. Ezzel kialakult a helyiértékes számolás, amit nagyon sok helyen használtak különféle változatokban.
A különféle számolótáblák az egyes népeknél más-más néven szerepeltek, de működésük hasonló volt. Kínában például szuan-pan volt a neve (szó szerint számolótáblát jelent), Japánban soroban a neve, a görög változatot abakusz néven ismerjük. Ezek persze már egy kicsit tovább fejlesztett változatai az eredetinek, hiszen itt a kavicsok helyett drótokra felfűzött golyók mozgatásával lehet számolni, de az elv megegyezik a fentebb említettel, amelyet a következőkben az inkák számolótábláján fogunk bemutatni.
Az inkák a számok ábrázolására, sőt sokáig való tárolására, például az adók beszedésénél, és a termés mennyiségének elkönyvelésénél egy érdekes, szintén helyiértékes rendszert alkalmaztak:
Minden madzagra egy szám került, ami több csomóból állt. Minden csomó egy helyiérték volt, egy csomón pedig annyi hurok volt, ahány az adott helyiértékből volt a számban. A madzagokat pedig egy másik kötélre erősítve máris nyilván lehetett tartani akár egy egész város adóját is.
Összeadásnál a hozzáadandó helyiértéket rácsomózták az addigi csomóra, majd ahol az alapszámnál több lett a csomó, ott lecsomóztak annyit, amennyi az alapszám volt, és a következő helyiértékre csomóztak egyet.
Az inka számolótábla mélyedései négy oszlopba, és valahány sorba voltak rendezve. A sorok jelentették a helyiértékeket, de az oszlopoknak is volt jelentésük: balról kezdve 1,2,3 és 5 volt a bele helyezett kő értéke.
Egy rekeszben egy kő lehetett. Az ábrázolt szám értéke úgy állt össze, hogy soronként a rekeszekben levő kövek értékét összeadva az adott sor helyiértékét kaptuk. (A helyiértékek 1, 10, 100, 1000, stb. voltak).
Két szám összeadásánál belerakjuk mindkét számnak megfelelően a kavicsokat a mélyedésekbe, majd optimalizálni próbáljuk a kövek számát az alábbi szabályok szerint:
Ha kipróbáljuk, kiderül, hogy az abakusz sokkal egyszerűbb, hiszen ott kevesebb a szabály.
Az abakusz római változata a római számokkal való számoláshoz való, amely nem helyiértékes számrendszer. Itt egy sort két részre, az egyesekre és az ötösökre kell osztani.
Ezután a szabályok:
Aztán később egyre bővült az emberiség számtan tudása. Elsősorban az araboknak volt ez köszönhető a középkorban. Nekik köszönhetjük például a jól ismert, tízes számrendszerbeli számjegyeinket: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Persze ezek nem voltak mindig ilyenek, ma már némelyiknek az eredeti alakjára aligha ismernénk rá.
Szintén az araboknak köszönhetjük az algoritmus szót is, amelyet később még sokat fogunk emlegetni: A XII. századig Európában még az összeadás és a kivonás is egyetemi tananyagnak számított. Persze ezen talán nem csodálkozunk annyira, ha figyelembe vesszük, hogy ekkor még egész Európában a római számokat használták.
Keleten ekkor már megjelentek az indiai eredetű számjegyek, amelyek az általunk arab számokként ismert fenti számjegyek ősei voltak. Ezen kívül a XI. században megjelent egy könyv egy bizonyos Muhammed ibn Muza al-Chvarizmi tollából, amelyben a legfontosabb számolási módszereket, eljárásokat szinte receptkönyv alakjában adta meg.
Sokakban él az a téves elképzelés, hogy az ő nevéből származik az algoritmus szó. A valóság inkább az, hogy a könyv latin nyelvű címéből: Algoritmi dicit. Ebből származtatva a feladatok megoldásának az egymás utáni lépések sorozatával megadott eljárását algoritmusnak nevezzük.
A fentiekben már szó esett a számrendszerekről. Nézzük most meg röviden, hogy mi is ez.
Amikor egy mennyiséget (számértéket) úgy írunk föl, hogy ugyanazokat a számjegyeket használjuk egymás után többször, és ezeket úgy tekintjük, hogy az egyes számjegyek helye más-más értéket jelent, akkor beszélhetünk helyiértékes számábrázolásról.
A használt számjegyek száma az ábrázoláshoz használt számrendszer alapszáma. Ez egyben az a szám is, amivel a számjegyet meg kell szorozni valahányszor, hogy az adott helyiértéken megkapjuk a számjegy által jelzett értéket. Hogy hányszor kell megszorozni az alapszámmal, az attól függ, hogy jobbról hanyadik jegyről van szó: a legjobboldali mindig az egyes helyiérték, így azt nem szorozzuk. A következőt egyszer kell szorozni, és minden továbbit egyel többször.
Az így kapott értékeket összeadva kapjuk a szám értékét.
Példaként ez az általunk használt tízes számrendszerben így néz ki:
| Helyiérték: | 1000 | 100 | 10 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| Számjegy: | 2 | 3 | 9 | 1 |
A tízes számrendszeren kívül a köznapi életben még más számrendszereket is használunk. Például a babiloni eredetű 60-as számrendszert az idő- illetve szögmérésben. Vagy a 12-est szintén az időmérésben, de a tucat elnevezés is a 12-es számrendszerre utal.
A következő téma: A számológép használata
Vissza: Bevezetés az informatikába